Hyppää sisältöön

Lognormaalisen jakauman laskeminen

Osakkeiden kurssit eivät koskaan mene alle nollan, joten ne eivät toteuta normaalijakaumaa tältä osin, vaan osakkeiden hintojen jakautumista on mielekkäämpää seurata ns. lognormaalisen jakauman kautta. Mutta tämä ei tarkoita, että normaalijakaumaa ei voisi myös käyttää seurantaan. Lognormaali jakauma kuten normaalijakaumakin kuvaa todennäköisyyksiä. Kuten aina pörssissä, niin todennäköisyyksien on ymmärrettävä olevan historiallisia todennäköisyyksiä. Vaikka ne hyvinkin voivat kuvat lähitulevaisuuden todennäköisyyksiä, niin käyrän arvoja ei missään nimessä saa tulkita pitkän tähtäimen ennustukseksi. Siis mikään oraakkeli hajautumakäyrä ei ole, vaan se sanan mukaisesti kuvaa millä tavalla tässä tapauksessa kurssit ovat levittäytyneet ja miten todennäköisiä jotkut kurssiarvot ovat.

lognormaailin jakauman kaava näyttää tältä.

\begin{equation*} f(x,\mu,\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi*\sigma*x}}e^{-\frac{1}{2}}(\frac{ln(x)-\mu}{\sigma})^2 \end{equation*}

Esimerkkinä kaava kuvaa osakkeen yksittäisen kurssi arvoa x, jolla on tietty odotusarvo(keskiarvo tässä tapauksessa) ja tietty keskihajonta, lognormaalin käyrällä. Kaavan avulla voimme laskea kurssille hajontakuvan.

Hajontakuvan laskeminen tietylle ajan hetkelle.

Hajontakuvan laskeminen on nopeinta taulokkalaskentaohjelmassa, jossa on valmiina myös lognormaalien arvojen lasku. Mutta otetaan laskutoimitus pidemmän kaavan mukaan ja lasketaan arvot taulukkolaskentaohjelmassa käyttämättä valmiita laskumenetelmiä.

  1. vaiheena on ottaa haluttu kurssidata tietyltä aikaväliltä. Tässä tapauksessa data on otettu kuukaudelta.
  2. Vaiheena on laskea datasta keskiarvo, keskihajonta ja keskihajonta - ja tämä on tehtävä alkuperäisen kurssiarvon logaritmistä.
  3. vaihe on käyttää yllä olevaa kaavaa taulukkolaskentaohjelmassa ja laskea kullekin kurssin arvolle siihen liittyvä piste lognormaalilta jakaumalta.
  4. vaihe on määrittää taulukkolaskenta ohjelma piirtämään kuvion.

Mielenkiintoiseksi tämä muuttu siinä vaiheessa, kun seurataan miten kuvio muuttu ajan muuttuessa - eli käytetään uutta kurssijoukkoa toiselta ajan hetkeltä ja tarkkaillaan, miten hajontakuvio muuttuu - jos se muuttuu.

CocaCola Oy osakkeen kurssi otoksena vuonna 2020
kurssi luonnolinen logaritmi kurssista
53.93 3.98768690934914
53.83 3.98583093257287
57.15 4.04567939024082
57.98 4.06009812349351
58.7 4.07243972683405
59.11 4.07940011483628
59.51 4.08614436565676
59.68 4.08899695589551
59.51 4.08614436565676
59.81 4.09117287105647
59.63 4.08815880313501
59.38 4.08395746933561
59.48 4.08564012159195
59.72 4.08966697267099
59.32 4.08294651726973
58.88 4.07550147442062
58.98 4.07719840338713
58.9 4.07584109065754
58.75 4.07329115302427
58.75 4.07329115302427
58.97 4.07702884001241
57.93 4.05923538510853
57 4.04305126783455
57.48 4.05143706121082
57.21 4.04672870828044
57.85 4.05785345363969
57.38 4.04969581055322
57.25 4.04742764243435
56.85 4.04041622019655
56.87 4.04076796131871
56.85 4.04041622019655
56 4.02535169073515
56.24 4.02962824750241
55.53 4.01692341525352
55.48 4.01602259544663
55 4.00733318523247
54.27 3.99397158807531
54.45 3.99728284937897
54.65 4.00094921462255
54.32 3.99489248325044
55.32 4.01313450679656
55.2 4.01096295328305
55.18 4.01060056878914
55.01 4.00751498688737
54.92 4.00587758089977
54.8 4.00369019395397
55 4.00733318523247
54.94 4.00624168066713
54.02 3.98935434836447
54.53 3.99875100893797
54.4 3.9963641538619
54.69 4.00168087735868
53.94 3.98787231771158
54.01 3.9891692146048
53.94 3.98787231771158
54.04 3.989724513092
54.3 3.99452422693989
54.31 3.99470837204675
54.21 3.99286539327225
53.8 3.98527346716774
53.71 3.98359920391737
53.32 3.97631149531051
53.7 3.98341300151482
53.93 3.98768690934914
53.31 3.97612393083467
53.28 3.97556102623213
52.96 3.96953691162875

Kurssin keskiarvo = 56.1694029850746

Luonnolisen logaritmin keskiarvo = 4.02763058359342

Luonnolisen logaritmin keskihajonta = 0,038728526360524

Näiden tietojen avulla voidaan taulukkolaskenta ohjelmassa joko käyttämällä edellä mainittua kaavaa tai käyttämällä taulukkolaskentaohjelmassa valmiina olevaa lognormaalin hajonnan kaavaa laskea hajontakuvio. Tässä tapauksessa kuvio näyttää tällaiselta, kun käyttää taulukkolaskentaohjelman valmista formulaa:

/galleries/kuvia/lognormal.png

Käyrän tulkinnasta.

Kuvasta näkee että hajonta ei ole täysin tasapainossa, vaan painottunut hieman korkeampien arvojen puolelle. Käyrän avulla kykenee näkemään todennäköisyydet kurssille lähitulevaisuudessa. Käyrän mukaan esimerkiksi yli 64 dollarin menevä kurssi on jo melkoisen epätodennäköistä saavuttaa lyhyellä aikavälillä, kun taas keskiarvo on suhteellisen todennäköinen arvo. Käyrän avulla voi laskea todennäköisyyksiä siitä, miten sen hetkinen kurssi saattaisi kehittyä kyseisen kuukauden lopussa, josta tämä aineisto on poimittu. Jos osakkeen arvo on voimakkaasti käyrän alimmilla tasoilla, voisi epäillä että kurssi on nousemaan päin. On kuitenkin muistettava, että hajontakäyrä kertoo aina jotain menneisyydestä. Nykyisyyttä vasten liittyy aina sitä suurempi virhemarginaali, mitä kauemmas kuljetaan.

Käyrää katsottaessa todennäköisimmät kurssin arvot ovat käyrän huipun kummallakin puolen, niin lasku- kuin noususuunnassa. Mitä kauemmas huipusta kuljetaan, sitä epätodennäköisempiä asiat ovat. Tällaista käyrää katsottaessa on ymmärrettävä, että se esittää todennäköisyyksiä sattumaa vastaan. Todellisuudessa kaupan teko ei välttämättä ole sattumaa, vaan sillä voi olla jokin selkeä suunta, mutta joka voi käyttäytyä siltikin sattuman varaisesti - tai olla käyttäytymättä. Tämä käyrä kertoo jotain todellisuudesta; jotain kurssin kehityksen todennäköisyyksistä, mutta käyrä ei siltikään kerro, mitä kohta tapahtuu. Mutta luonnollisestikin hajontakäyrää voi käyttää osviittana, minkälaista riskiä on ottamassa.

Sijoituksen riskiä voi laskea käyrän avulla. Käyrä kertoo suoraan, millainen riski osakkeen hintaan liittyy lyhyellä aikavälillä. Käyrä onkin omiaan ehkä nimenomaan lyhytaikaiseen sijoittamiseen.

Käyrää voi käyttää myös optimointiin. Jos käyttää salkun NAV arvoja ja luo salkulle hajontakäyrän, kykenee vaivatta näkemään jonkilaiset riskiarvot. Tämän jälkeen voi rakentaa erillaisia kuvioita esimerkiksi muuttamalla salkun painotuksia ja laskemaan painotusmuutosten avulla historiallisia scenarioita. Oikean riskiprofilin avulla voi löytää hyvän rakenteen salkun painotuksille. Myös osinkosijoittaja voi tutkia salkun painotuksien vaikutusta osingoon ja osinkotuoton riskejä mahdollisissa osingon muutostilainteissa.

Käyrän laskeminen on työläs tapahtuma. Omasta mielestäni saatava tieto ei ole pitkän aikajänteen tietoa ja siten sopiva enemmän lyhytaikaisten riskien arviointiin. En ihan täysin usko menetelmän sopivan kuitenkaan osinkosijoittajalle, vaikka näen tuon mahdollisuuden tutkia mahdollisuuksia tyyliin - mitä jos?

Maailmassa on sijoitusstrategioita, jotka käyttävä hajontakuvioita hyväkseen. Suuren hajonnan tutkiminen on yksi näistä. Mitä suurempi keskihajonta, eli erotus keskiarvokurssin ja voimassa olevan kurssin välillä sitä suurempi saattaa olla myös volaliteetti. Keskiarvosta suuret poikkeamat saattavat myös merkitä hintojen nopeaa paluuta takaisin keskiarvoon. Jakauma käyrää voi myös käyttää volaliteettiriskin tutkimiseen.

Kommentit

Comments powered by Disqus